In der Schule wird ungefähr vom ersten bis zum zehnten Schuljahr das Rechnen eingeführt, vom kleinen Einmaleins bis zu den Logarithmen und Winkelfunktionen für reelle Zahlen. Ganz richtig begründet und bewiesen wird es dort begreiflicherweise nicht, das wäre zu abstrakt. Erst ungefähr ab dem elften Schuljahr, wenn man mit Folgen, Funktionen und Grenzwerten anfängt, dann wird gründlicher, präziser und abstrakter vorgegangen, weil es nun sonst zwangsläufig falsch und widersprüchlich würde. Das war es nämlich im 18. Jahrhundert, so dass die Mathematiker nach gründlichen präzisen Methoden suchen mussten. Aber wie viel vom „großen Einmaleins“ soll man dabei als gegeben hinnehmen? Selbst die heutigen Mathematik-Anfängervorlesungen an der Universität nehmen viel davon als gegeben hin, sagen aber genau, wie viel. Es gibt auch Auffassungen, dass man nur ganz wenig vom kleinen Einmaleins als gegeben hinnehmen sollte (dieses Wenige nennt man die Peano-Axiome) und den Rest daraus beweisen kann. Selbst das lernt man aber nicht einmal an der Universität, auch dort gibt es Wichtigeres. Jedenfalls kann man die Rechengesetze nur so weit wirklich beweisen, so weit man für die Rechenoperationen und auch für die Zahlen selbst eine präzise (und zwangsläufig abstrakte) Definition gibt, was sie eigentlich sind.
Es gibt verschiedene Ansätze, um die elementaren Rechengesetze zu beweisen oder zumindest zu begründen – sei es für rationale oder irrationale Zahlen. Die hier vorliegende Arbeit ist ein ganz konstruktivistischer Ansatz, der das Reich der reellen (und komplexen) Zahlen samt Rechenoperationen vollständig definiert und die Rechenregeln vollständig beweist. Dies hat natürlich nicht den Sinn, Zweifel daran zu beseitigen, sondern die Zusammenhänge zwischen den mathematischen Regeln zu verdeutlichen. Die Definitionen werden schon bald, nach Beweis einiger Sätze, nicht mehr benötigt.